你可否记得是多少年前，教材里再也不见了三垂线；

据说为了降低辅助线的难度，并提前推进几何代数化的时间；

现在的立体几何，向量终如专家所愿；

曾经优雅的做图思路，终变成了套路化的计算；

其实一直怀念立体几何最本质的逻辑推理，

曾经三垂线定理的存在，

是公认空间平面化最好的纽带；

向量顺应了新的时代，无视了三垂线挣扎的无奈；

立体几何也很难再现辉煌的空间想象，高手更多了许多寂寞的时间；

或许多年以后，新老教师们都早已忘怀，

可70后的我仍一如既往，

纵使沧海变桑田，

三垂线，

始终残存在我的心田。

三线概念（如上图）：

①垂线：图中PO（点O为垂足）

②斜线：图中PA（点A为斜足）

③射影：图中OA（OA在面内）

三垂线定理：

①文字表示：平面内的一条直线，如果与这个平面的一条斜线在面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。

②符号表示：PO⊥平面α，PA∩平面α=A，若直线l∈平面α且l⊥OA，则l⊥PA

③图形表示：（如上图）

三垂线定理逆定理

①文字表示：平面内的一条直线，如果与这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在平面内的射影垂直。

②符号表示：PO⊥平面α，PA∩平面α=A，若直线l∈平面α且l⊥PA，则l⊥OA.

③图形表示：

定‖理‖印‖象

其实，从两个定理的特征观察，我们可以将两个定理概括为一个结论：

平面的斜线与斜线在面内的射影，有一条与面内的直线垂直，则另一条也与该直线垂直。

这样，就再也不要纠结谁是定理，谁是逆定理了。

定理简单应用

其实，从两个定理的推理过程来看，就是线面垂直与线线垂直之间反复的相互导出过程，这种推理的过程也确实还是比较麻烦的。

但如果把它作为一个定理来应用，可以省略中间的复杂环节，我们只需要记住它的图形结构就可以了。

于学生们来说，岂不是一件让人拍手称快之事！

一、三垂线定理的证明：

证法1：用线面垂直证明

已知：如图,PO在α上的投影OA垂直于直线a，求证：OP⊥a 。

证明：过P做PA垂直于α ，

∵PA⊥α ∴PA⊥a 。

又a⊥OA ，OA∩PA=A

∴a⊥平面POA ，

∴a⊥OP 　　

证法2：用向量证明三垂线定理 　　

已知：PO,PA分别是平面α的垂线,斜线,OA是PA在α内的射影,b包含于α,且b垂直于OA,求证：b垂直于PA 。　

证明：∵PO⊥α,∴PO垂直于b,又∵OA垂直b,向量PA=（向量PO+向量OA）

∴向量PA×b=（向量PO+向量OA）×b=（向量PO×b）+（向量OA×b ）=O,

∴PA⊥b。

二、三垂线定理的使用注意

1,三垂线定理描述的是PO(斜线),AO(射影),a(直线)之间的垂直关系。

2,a与PO可以相交,也可以异面。

3,三垂线定理的实质是空间内的一条斜线和平面内的一条直线垂直的判定定理.关于三垂线定理的应用,关键是找出平面(基准面)的垂线.至于射影则是由垂足,斜足来确定的,因而是第二位的。

从三垂线定理的证明得到证明a⊥b的一个程序:一垂,二射,三证。即第一,找平面(基准面)及平面垂线，第二,找射影线,这时a,b便成平面上的一条直线与一条斜线。第三,证明射影线与直线a垂直,从而得出a与b垂直。

4、注意两点：

1°定理中四条线均针对同一平面而言。

2°应用定理关键是找"基准面"这个参照系。

5、记忆口诀。

三垂线定理口诀：“线射垂，线斜垂”；

三垂线逆定理口诀：“线斜垂，线射垂”。

温馨提醒

自2012年起，高考中三垂线定理就已经不能做为推理论证的依据了，如用需要证明。但小伙伴们依然可以用它快速找到解题思路的。强烈建议有能力的同学一定要掌握。