初等笔记——解惑圆锥曲线之椭圆
最近因为工作需要用到椭圆的极坐标方程，所以把椭圆相关公式推导了一遍。特此记录，以作辅导小孩的资料。本文用语偏口语化，只为说明道理。内容分三部分：基础知识、第一种定义证明、第二种定义证明。读者能够看懂上述内容并完成公式推导，就算彻底掌握椭圆了。怎么考也不怕。类似的，对于其他圆锥曲线：双曲线、抛物线，读者也可以模仿此笔记自己作出总结和证明。
基础知识
椭圆的外形就是一个压扁了的圆。记得当年数学老师课堂演示：将一根松弛的绳子两端固定在黑板上；用一支粉笔挑起绳子使其绷紧，粉笔环绕一周就在黑板上画出一个椭圆。这就是椭圆的第一种定义：
椭圆是由到两个焦点距离之和为常数的点构成的集合。即满足：
如上图所示，E (-c, 0)、F (c, 0) 分别是两个焦点，距离之和常数为2a. 椭圆的长半径长度为a, 短半径长度为b。
椭圆方程：
圆方程：
可见圆是椭圆的特例。
性质：
这个由定义从上图可看出来。
定义：离心率
反映焦点偏离中心的程度。离心率越大椭圆越扁。圆的离心率e=0(圆形相当于把椭圆的两个焦点合二为一成为圆心，2c=0, e=0)。
第一种定义证明（椭圆方程证明）
命题1：
证明：充分性：⇐
得证。
必要性：⇒
得证。
第二种定义证明
椭圆的第二种定义：（圆锥曲线通用定义）
椭圆是到一个点（焦点）的距离与到一条直线x=x0（准线）的距离之比为一个常数e（离心率）的点的集合。其中e<1. 其中焦点到准线距离为P。即
如图
这是椭圆的极坐标方程。
其中
注1：根据c, p, e 的定义及
这3个变量中只有2个独立变量。当自由选择其中2个变量的值之后，剩下的1个变量值就已经确定了不能再自由选择。
注2：椭圆有左右两条准线，上文是右准线的情况。如果是左准线，方程为
但二者无本质区别。
下面证明椭圆的直角坐标方程与极坐标方程等价。也就是椭圆的第一种定义与第二种定义等价。
命题2：
证明: 充分性：⇐
得证。
必要性：⇒
得证。
附加内容：
这部分是数学建模课的工作笔记，与微分有关而与椭圆无关。
- 关于开普勒第二定律的方程的说明：用微分还是用导数？
开普勒第二定律: 行星围绕恒星运动在单位时间内向径扫过的面积是一个常数。即
其中, θ是向径的角度，r是向径的长度，A是常数。此处有个疑问：为什么是导数而不是微分，好像用微分更合理啊。思考后得出结论：方程是对的，但是需要解释其含义。
注：L是弧长
单位时间内向径扫过扇形面积
注意：这里是用 ∆θ 而不是 dθ。二者区别很大，∆θ 是一个数字，而 dθ 是无穷小量。否则方程左边无穷小≠右边常数，方程不成立。令单位时间内的角速度不变，则
于是
这里用到 ∆t=1，因为单位时间的含义就是1个单位的时间。
代入扇形面积公式得
所以
得证。
